作者：非妃是公主
专栏：《算法》《刷题笔记》
个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩

《算法》专栏系列文章

算法设计与分析复习01：主方法求递归算法时间复杂度

算法设计与分析复习02：分而治之算法

算法设计与分析复习03：动态规划算法
 算法设计与分析复习04：贪心算法

算法设计与分析复习05：回溯及分支限界

算法设计与分析复习06：随机化算法

算法设计与分析复习07：样题

文章目录

《算法》专栏系列文章

题目：寻友之旅

贪心算法

宽度优先搜索(bfs)

bfs+剪枝

考虑特殊情况(无法坐公交)

测试结果

题目：寻友之旅

小青要找小码去玩，他们的家在一条直线上，当前小青在地点 N ，小码在地点 K （0≤N , K≤100 000），并且小码在自己家原地不动等待小青。小青有两种交通方式可选：步行和公交。
步行：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 X-1 或 X+1
公交：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 2×X （公交不可以向后走）

请帮助小青通知小码，小青最快到达时间是多久？
输入：两个整数 N 和 K
输出：小青到小码家所需的最短时间（以分钟为单位）

贪心算法

首先，可以分析下这道题目！我第一个想法是，这是1个贪心的题目，每一步我们可以选择不同的走法，即：

-1：向后走
+1：项前走
*2：坐公交去走

有了这3种走法后，那么哪种走法是最优的呢？我使用了距离终点点的距离(也就是K的距离)来度量，每次选择离K最近的走法，代码如下，十分简单，读者可以根据我上面说的自行理解即可：

// 方法1：贪心算法
int main() {
	int N, K;
	cin >> N >> K;
	int num_step = 0;
	while (N != K) {
		num_step++;
		int plan1 = N - 1;		
		int plan2 = N + 1;
		int plan3 = 2 * N;
		if (plan1 < 0 || plan1 > 100000) plan1 = N;
		if (plan2 < 0 || plan2 > 100000) plan1 = N;
		if (plan3 < 0 || plan3 > 100000) plan1 = N;
		int len1 = abs(plan1 - K);
		int len2 = abs(plan2 - K);
		int len3 = abs(plan3 - K);
		if (len1 > len2) {
			if (len3 > len2) {
				N = plan2;
			}
			else {
				N = plan3;
			}
		}
		else {
			if (len3 > len1) {
				N = plan1;
			}
			else {
				N = plan3;
			}
		}
	}
	cout << num_step;
}

但是，这种做法其实是错误的，问题的产生主要是由于可以坐公交产生的，有时候我们这一步是最优的，从下一步来讲，就不一定是最优的。比如：
小青在5
小码在8
最优的走法是，小青先走到4，然后坐公交直接到8，这样只需要2分钟，但是这种做法是无法被贪心算法搜索到的。

宽度优先搜索(bfs)

接着我仔细思考了另一种做法，也就是bfs，bfs就是使用了队列这个数据结构，进行一个宽度优先搜索。但是如何记录当前的分钟数是1个问题，因此，我定义了1个结构体，然后就是出队列、入队列等操作，代码如下：

// 方法2：bfs
struct node {
	int num_steps;
	int pos;
};

int main() {
	int N, K;
	cin >> N >> K;

	queue<node> que;
	node curNode;
	curNode.num_steps = 0;
	curNode.pos = N;
	que.push(curNode);
	while (curNode.pos != K) {
		node tmp1;
		tmp1.num_steps = curNode.num_steps + 1;
		tmp1.pos = curNode.pos - 1;

		node tmp2;
		tmp2.num_steps = curNode.num_steps + 1;
		tmp2.pos = curNode.pos + 1;

		node tmp3;
		tmp3.num_steps = curNode.num_steps + 1;
		tmp3.pos = curNode.pos * 2;

		if (tmp1.pos >= 0 || tmp1.pos <= 100000)
			que.push(tmp1);
		if (tmp2.pos >= 0 || tmp2.pos <= 100000)
			que.push(tmp2);
		if (tmp3.pos >= 0 || tmp3.pos <= 100000)
			que.push(tmp3);

		curNode = que.front();
		que.pop();
	}

	cout << curNode.num_steps;
}

代码也较为简单，虽然没有注释，但是并不难看懂，读者可以根据我上面提到的代码逻辑进行理解。

bfs+剪枝

但是，bfs的搜索空间其实是很大的，对于题目的数据0~100000，可能会造成较大的时间、空间开销。因此，可以对代码进行进一步的剪枝，主要是融入一些启发式的思考，排除掉肯定不可能的情况，我主要排除了下面这种情况：如果小青已经超过了小码，而且小青距离小码的距离，比上一步还远，那么这种情况的后续步骤肯定不存在最优解了，因为这样走的话，我们越走越远，在无效地浪费时间！

我举个例子，比如，小青在600处，小码在800处，如果小青坐公交，那么直接就到了1200处，这样的话，小青距离小码有400，而上一步小青距离小码只有200，关键是400的距离还不能坐公交(只能走着回去)，所以这肯定不是最优解！因此我改动的代码如下：

		if (tmp3.pos >= 0 || tmp3.pos <= 100000 || tmp3.pos - K < abs(curNode.pos - K))
			que.push(tmp3);

考虑特殊情况(无法坐公交)

对于某些特殊情况，比如小青在800，小码在400，这时候是无法乘坐公交的，当然做法也很简单，就是二者之间的距离。

为什么要考虑这种特殊情况呢？因为不考虑这种情况的话，对于上面的这种情况，bfs的搜索空间是

400

2^{400}

$2^{400}$ ，一共要扩展400层搜索树，这是很恐怖的！因此增加代码如下：

完整代码如下：

struct node {
	int num_steps;
	int pos;
};

int main() {
	int N, K;
	cin >> N >> K;

	if (N > K) {
		cout << N - K;
		return 0;
	}

	queue<node> que;
	node curNode;
	curNode.num_steps = 0;
	curNode.pos = N;
	que.push(curNode);
	while (curNode.pos != K) {
		node tmp1;
		tmp1.num_steps = curNode.num_steps + 1;
		tmp1.pos = curNode.pos - 1;

		node tmp2;
		tmp2.num_steps = curNode.num_steps + 1;
		tmp2.pos = curNode.pos + 1;

		node tmp3;
		tmp3.num_steps = curNode.num_steps + 1;
		tmp3.pos = curNode.pos * 2;

		if (tmp1.pos >= 0 || tmp1.pos <= 100000)
			que.push(tmp1);
		if (tmp2.pos >= 0 || tmp2.pos <= 100000)
			que.push(tmp2);
		if (tmp3.pos >= 0 || tmp3.pos <= 100000 || tmp3.pos - K < abs(curNode.pos - K))
			que.push(tmp3);

		curNode = que.front();
		que.pop();
	}

	cout << curNode.num_steps;
}