一.动态规划的基本介绍
1.问题引出
背包问题:有一个背包，容量为4磅，现有如下物品
1)要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出背包容量
2)要求装入的物品不能重复
2.算法介绍
1)动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进
行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2)动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子
问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3) 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不
是互相独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)
4)动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.
3.思路分析和图解
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若千具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)
这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，c为背包的容量。再令v[i][i]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:
背包填表的过程
(1) v[i][0]=v[0][j]=0;
表示填入表的第一行和第一列为0
(2)当w[i]>j时:v[i][ji]=v[i-1][j]
当准备加入新增的商品的容量大于当前的背包的容量时,就直接使用上一个单元格的装入策略
(3)当j>=w[i]时:v[i][j]=max{v[i-1][i],v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
当准备加入新增的商品的容量小于等于当前的背包的容量时,
v[i-1][i]为上一个单元格的装入策略
v[i]当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]]:装入i-1个商品到 剩余空间的 :j-w[i]
二.代码实现
public class Knapsack {
public static void main(String[] args) {
int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
int[] val = {1500, 3000, 2000};//物品的价值
int capacity = 4;
int number = w.length;
//v[i][j]表示在前i个物品中能装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[number + 1][capacity + 1];
//为了记录放入商品的情况,我们定义一个二维数组
int[][] path = new int[number + 1][capacity + 1];
//初始化第一行第一列
for (int i = 0; i < number; ++i) {
v[i][0] = 0;//将第一列设置为0
}
for (int i = 0; i < capacity; ++i) {
v[0][i] = 0;//将第一行设置为0
}
//动态规划处理
for (int i = 1; i <= number; ++i) {
for (int j = 1; j <= capacity; ++j) {
if (w[i - 1] > j) {//但准备要添加的物品重量大于背包的容量时
v[i][j] = v[i - 1][j];
} else {
//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
//为了记录商品存放到背包的情况,我们不能简单的使用上面的公式,if-else才行
if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
//把当前情况记录到path
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
for (int[] ints : v) {
System.out.println(Arrays.toString(ints));
}
int i = path.length - 1;
int j = path[0].length - 1;
while (i > 0 && j > 0) {
if (path[i][j] == 1) {
System.out.println("第" + i + "个商品放入背包");
j -= w[i - 1];
}
i--;
}
}
}
三.动态规划五步
1.dp数组以及下标的含义
2.递推公式
3.dp数组如何初始化
4.遍历顺序
5.打印dp数组
四.斐波那契数
1.问题分析
斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
1.dp数组以及下标的含义
dp[i]为第i个斐波那契数的值
2.递推公式
dp[n]= dp[n – 1] +dp[n – 2]
3.dp数组如何初始化
dp[0]=0,dp[1]=1
4.遍历顺序
从前向后遍历
5.打印dp数组
2.代码实现
public class Fib {
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fib(5));
}
public static int fib(int n) {
if (n == 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
int[] dp=new int[n+1];
dp[0]=1;
dp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}因为求出的只取决于上面两次的状态,所以可以用三个变量来实现
public class Fib {
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fib(5));
}
public static int fib(int n) {
if (n == 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
int a = 0;
int b = 1;
int c;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return b;
}
}四.爬楼梯
1.问题分析
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
1.dp数组以及下标的含义
dp[i]达到第i阶有dp[i]种方法
2.递推公式
dp[i] = dp[i – 1] +dp[i – 2]
3.dp数组如何初始化
dp[0]=0,dp[1]=1
4.遍历顺序
从前向后遍历
5.打印dp数组
2.代码实现
public class ClimbStairs {
public static void main(String[] args) {
System.out.println(climbStairs(4));
}
public static int climbStairs(int n) {
if(n==1)
return 1;
if(n==2)
return 2;
int[] dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
dp[2]=2;
for(int i=3;i<=n;i++){
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}五.使用最小花费爬楼梯
1.问题分析
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
1.dp数组以及下标的含义
dp[i]达到第i位置的花费
2.递推公式
dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])
3.dp数组如何初始化
dp[0]=0,dp[1]=0
4.遍历顺序
从前向后遍历
5.打印dp数组
2.代码实现
public class MinCostClimbingStairs {
public static void main(String[] args) {
int[] costs={1,100,1,1,1,100,1,1,100,1};
System.out.println(minCostClimbingStairs(costs));
}
public static int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
if(cost.length==1)
return 0;
int[] dp=new int[cost.length+1];
dp[0]=0;
dp[1]=0;
for(int i=2;i<=cost.length;i++){
dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
}
return dp[cost.length];
}
}
五.不同路径
1.问题分析
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
1.dp数组以及下标的含义
dp[i][j]为机器人走到(i,j)位置有多少种不同的走法
2.递推公式
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]
3.dp数组如何初始化
for(int i=0;i<n;i++){
dp[0][i]=1;
}
for(int i=1;i<m;i++){
dp[i][0]=1;
}
4.遍历顺序
从前向后遍历
5.打印dp数组
2.代码实现
public class UniquePaths {
public static void main(String[] args) {
System.out.println(uniquePaths(3, 7));
}
public static int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp=new int[m][n];
for(int i=0;i<n;i++){
dp[0][i]=1;
}
for(int i=1;i<m;i++){
dp[i][0]=1;
}
for(int i=1;i<m;i++){
for(int j=1;j<n;j++){
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
}五.不同路径II
1.问题分析
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
1.dp数组以及下标的含义
dp[i][j]为机器人走到(i,j)位置有多少种不同的走法
2.递推公式
if(obstacleGrid[i][j]==0)
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]
3.dp数组如何初始化
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (obstacleGrid[0][i] == 1)
break;
dp[0][i] = 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++) {
if (obstacleGrid[i][0] == 1)
break;
dp[i][0] = 1;
}
4.遍历顺序
从前向后遍历
5.打印dp数组
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