定义1 设
是一个
阶方阵，
是一个数，如果方程
(1)
存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量
称为属于特征值的特征向量．
（1）式也可写成，
(2)
这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
, (3)
即 
上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程． 其左端
是的次多项式，记作
，称为方阵的特征多项式．
== 
=
显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．
设阶矩阵
的特征值为
由多项式的根与系数之间的关系，不难证明
（ⅰ）
（ⅱ）
若为 的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的
重根，则称为的重特征根．方程 
的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式
；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：
的一个基础解系
，则的属于特征值的全部特征向量是
（其中
是不全为零的任意实数）．
例1 求
的特征值和特征向量.
解 的特征多项式为
=
所以的特征值为
当
=2时，解齐次线性方程组
得
解得
令
=1，则其基础解系为：
=
因此，属于=2的全部特征向量为：
.
当
=4时，解齐次线性方程组
得
令=1，
则其基础解系为：
因此的属于=4的全部特征向量为
[注]：若
是的属于的特征向量，则
也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.
例2 求矩阵
的特征值和特征向量.
解 的特征多项式为
=
= 
，
所以的特征值为==2（二重根），
.
对于==2，解齐次线性方程组．由
，
得基础解系为：
因此，属于==2的全部特征向量为：
不同时为零
.
对于
，解齐次线性方程组
．由
，
得基础解系为：
因此，属于的全部特征向量为：
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