MIT 线性代数导论第八讲：Ax=b可解性以及解的结构

本讲的主要内容：

讨论

求解过程

这一部分使用的例子，这里我直接写成矩阵形式：

⇔

(

)

(

)

Ax=b\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2\\ 2& 4 & 6 & 8\\ 3& 6 & 8 & 10 \end{pmatrix}x= \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}

$A x = b \Leftrightarrow ⎝ ⎛ 1232462682810 ⎠ ⎞ x = ⎝ ⎛ b_{1} b_{2} b_{3} ⎠ ⎞$
接下来使用写成增广矩阵的形式

(

)

(A,b)

$(A, b)$ 进行消元：

(

)

⇒

(

−

)

\begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2 & b_{1}\\ 2& 4 & 6 & 8 &b_{2}\\ 3& 6 & 8 & 10 &b_{3} \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2 & b_{1}\\ 0& 0 & 2 & 4 &b_{2}-2b_{1}\\ 0& 0 & 0 & 0 &b_{3}-b_{2}-b_{1} \end{pmatrix}

$⎝ ⎛ 1232462682810 b_{1} b_{2} b_{3} ⎠ ⎞ \Rightarrow ⎝ ⎛ 100200220240 b_{1} b_{2} - 2 b_{1} b_{3} - b_{2} - b_{1} ⎠ ⎞$
至此，我们可以很清楚的看到这个方程可解的条件：

−

b_{3} – b_{2}-b_{1} = 0

$b_{3} - b_{2} - b_{1} = 0$
对于方程

Ax=b

$A x = b$ 方程可解的条件，或者说可解性（Solvability） 即（其实在之前列空间部分讲到过）：

$b\in C(A) b∈C(A)$

或者说：

那么，接下来来写出方程的完整解：
分为两个步骤：

1.找到方程的特殊解（particular solution）
2.找到方程的零空间的任意解（也就是基础解系）

为方便，取

(

)

(

)

\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 6 \end{pmatrix}

$⎝ ⎛ b_{1} b_{2} b_{3} ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 156 ⎠ ⎞$ 代入方程中，得到消元后增广矩阵：

(

)

\begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2 & 1\\ 0& 0 & 2 & 4 &3\\ 0& 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}

$⎝ ⎛ 100200220240130 ⎠ ⎞$
按照求解的算法：

Step 1:

$S t e p 1 :$ 求出特定解，也就是将所有的自由变量(free variables)赋值为0，接出来得到：

(

−

)

x_{particular} =\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0\end{pmatrix}

$x_{p a r t i c u l a r} = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ - 2 0 3 / 2 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞$

Step 2:

$S t e p 2 :$ 求出零空间的任意一个解，也就是求解对应的

Ax=0

$A x = 0$ 的解，具体做法按照之前的算法，将所有的自由变量依次赋值为1，上述方程有两个自由变量，最终结果可以记作：

(

−

)

(

−

)

x_{nullspace}=c1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}+c2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}

$x_{n u l l s p a c e} = c 1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ - 2 100 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + c 2 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 20 - 2 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞$ ,这个结果又叫做基础解系

Step 3:

$S t e p 3 :$ 将上述两部分加起来即可得到完整解，也就是：

(

−

)

(

−

)

(

−

)

x_{compelete} = x_{particular} + x_{nullspace}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0\end{pmatrix}+c1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}+c2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}

$x_{c o m p e l e t e} = x_{p a r t i c u l a r} + x_{n u l l s p a c e} = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ - 2 0 3 / 2 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + c 1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ - 2 100 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + c 2 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 20 - 2 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞$
这个结果即为方程的所有解，这个结果证明如下：

{

⇒

(

)

\left\{\begin{matrix} A x_{particular} = b\\ A x_{nullspace} = 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(x_{particular} + x_{nullspace}) = b

${A x_{p a r t i c u l a r} = b A x_{n u l l s p a c e} = 0 \Rightarrow A (x_{p a r t i c u l a r} + x_{n u l l s p a c e}) = b$
如果从图像中理解这个结果，也就是在四维空间中的一张平面（不太直观）：我们可以看到基础解系确定的是这个四维空间的一个过原点的平面，也就是