LeetCode 121:买卖股票的最佳时机

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题目
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思路:动态规划

1. 状态

这个问题的「状态」有三个:
第⼀个是天数 i
第⼆个是允许交易的最大次数 k
第三个是当前的持有状态(即 之前说的 rest 的状态,我们不妨⽤ 1 表示持有,0 表示没有持有)。然后我们⽤⼀个三维数组就可以装下 这⼏种状态的全部组合:
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比如说 dp[3][2][1] 的含义就是:今天是第三天,现在⼿上持有着股票,⾄今最多进⾏ 2 次交易;
dp[2][3][0] 的含义:今天是第⼆天,我现在⼿上没有持有股票,至今最多进⾏ 3 次交易;

题目所求:dp[n – 1][K][0],即最后⼀天,最多允许 K 次交易,最多获得多少利润
最后一个rest状态一定是0,即卖出了股票,利润才可能最大;

即求最大利润时,手里的股票一定没有股票!

2. 状态转移方程:

情况 1:今天没有持有股票
状态转移方程:
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  1. 昨天没有持有 即rest=0,且截至昨天最⼤交易次数限制为 k;然后今天不买,依然没有股票,最⼤交易次数限制依然为 k。
  2. 昨天持有股票,即rest=1,截至昨天最大交易次数限制为 k;但是今天卖出去了,所以今天没有持有股票了,最⼤交易次数限制依然为 k。

情况2:今天持有股票
状态转移方程:
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  1. 昨天持有股票,即rest=1,且截⾄昨天最⼤交易次数限制为 k;所以今天还持有着股票,最⼤交易次数限制依然为 k。
  2. 昨天没有持有,rest=0,且截⾄昨天最⼤交易次数限制为 k – 1;但今天选择 buy买入,所以今天我就持有股票了,最⼤交易次数限制为 k ??
    .

3. base case

由于 i 从0开始,而状态方程中存在 [i-1] ,所以将dp[i-1]先赋值;
未开始时利润为0,不合理的值设为Integer.MIN_VALUE
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而最大交易次数 K是从1开始的,k=0的不存在,利润为0 ;
且k=0时不允许持有股票,不合理的值设为Integer.MIN_VALUE;
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由于k限制为1,所以此题去掉第二个状态;
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去掉 k 状态:
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显然 i = 0 时 i – 1 是不合法的索引,这是我们没有对 i 的 base case 进⾏处理,可以这样给⼀个特化处理:
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实现:

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n=prices.length;
        // 定义
        int[][] dp=new int[n][2];
        //遍历状态
        // base case
        dp[0][0]=0;
        dp[0][1]=-prices[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            //没有 : 昨天没有 + 昨天有、卖了
            dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i] );
            
            //持有 :昨天有 + 昨天没有、买了(只能买一次,所以昨天没有则昨天手里的股票一定为0 !)
            dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1], 0 -prices[i]);
        }
        return dp[n-1][0];
    }
}

注意:

  1. 结果求股票最大值,那么一定是卖出去才会最大,所以结果是dp[n-1][0] ;
  2. base case dp[0][1] 设置为 -prices[0]
  3. 因为只能买一次,所以昨天没有则昨天手里的股票价格一定是0 !今天买入为 0-prices[i]

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