用计算机求定积分和导数的方法
1. 数值积分 (计算机求积分)
1.1 基本概念
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求积公式:计算机求解定积分的公式
- 求积公式:
求积公式与Ai、xi 和xi 个数有关 ,显然一个定积分有很多不同的求积公式!
- 由于xi 会给出,Ai是待定的,f(x) 是自设的,所以需要求系数Ai ,如何求系数系数Ai ?
例子:
- xi 给出
- xi 不给出,则其也是参数,需要多建立几个方程
- xi 给出
- 求积公式:
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求积余项:即误差
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代数精度:由于一个定积分有不同的求积公式,所以需要用代数精度来衡量对应求积公式的好坏。
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结论:代数精度越大,则求积公式越好
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定理:
一个求积公式的代数精度 <= 2*n - 1
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如何求代数精度?
例题:
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1.2 插值型求积公式
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基本思想:借助多项式插值函数构造的求积公式。一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式。
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插值型求积公式:
例题:
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定理:
1.3 N-C求积公式
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N-C求积公式是特殊的插值型求积公式。在插值型公式中,把求积节点xi取为等距节点,此时的插值型求积公式就是N-C求积公式。
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求N-C求积公式:
- 如果等分份数n = 2或3,则有简单表示法:
- n > 3,则按照插值型求积公式去处理即可。
- 如果等分份数n = 2或3,则有简单表示法:
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定理:
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求积余项:
- 如果等分份数n = 2或3,则有简单表示法:
- n > 3,则按照插值型求积公式余项去处理即可。
- 如果等分份数n = 2或3,则有简单表示法:
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N-C公式的稳定性:如果等分份数
n <= 8
是稳定的;n > 8
是不稳定的。
1.4 Gauss求积公式
- 作用:对于某个待求定积分,其代数精度最高能够达到多高?Gauss求积公式就是代数精度最高的那个代数公式。
- 基本思想:在求积公式中让求积节点和求积系数都设为待定参数,然后构造具有最高代数精度的求积公式。
- Gauss求积公式:
- 定理:Gauss系数都是大于零的数。
- 稳定性:是稳定的
2. 数值微分 (计算机求导数)
根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数近似值称为数值微分,所求导数的近似值常称为数值导数。
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