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• 所属专栏: LeetCode每日一题–进击大厂

一、动态规划套路

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式（状态转移方程）
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

二、分析

就是说你可以站在 matrix 的第一行的任意一个元素，需要下降到最后一行。

每次下降，可以向下、向左下、向右下三个方向移动一格。也就是说，可以从 matrix[i][j] 降到 matrix[i+1][j] 或 matrix[i+1][j-1] 或 matrix[i+1][j+1] 三个位置。

1、dp数组含义

从第一行（matrix[0][…]）向下落，落到位置 matrix[i][j] 的最小路径和为 dp(matrix, i, j)。

int dp(vector<vector<int>>& matrix, int i, int j);

写出主体逻辑代码：

int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
    int n = matrix.size();
    int res = INT_MAX;

    // 终点可能在最后一行的任意一列
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        res = min(res, dp(matrix, n - 1, j));
    }

    return res;
}

2、确定递推公式（递推函数的实现）

对于 matrix[i][j]，只有可能从 matrix[i-1][j], matrix[i-1][j-1], matrix[i-1][j+1] 这三个位置转移过来

那么，只要知道到达 (i-1, j), (i-1, j-1), (i-1, j+1) 这三个位置的最小路径和，加上 matrix[i][j] 的值，就能够计算出来到达位置 (i, j) 的最小路径和：

int dp(vector<vector<int>>& matrix, int i, int j) {
    // 非法索引检查
    if (i < 0 || j < 0 ||
        i >= matrix.size() ||
        j >= matrix[0].size()) {
        // 返回一个特殊值
        return 99999;
    }
    // base case
    if (i == 0) {
        return matrix[i][j];
    }
    // 状态转移
    return matrix[i][j] + min({
            dp(matrix, i - 1, j), 
            dp(matrix, i - 1, j - 1),
            dp(matrix, i - 1, j + 1)
        });
}

int min(int a, int b, int c) {
    return min(a, min(b, c));
}

3、dp数组初始化（base case)

	int dp(vector <vector <int>> & matrix, vector<vector<int>>& memo, int i, int j){
		//base case 
		if(i == 0){
			 return matrix[0][j];
        }
	}

4、遍历顺序

初始化初始化第一行，那么根据二维数组，以及确定的data base的位置和最终状态，确定：从上往下遍历

   // 进行状态转移
        memo[i][j] = matrix[i][j] + min(
                dp(matrix, memo, i - 1, j), 
                dp(matrix, memo, i - 1, j - 1),
                dp(matrix, memo, i - 1, j + 1)
            );

解题（代码）：

int dp(vector<vector<int>>& matrix, int i, int j) {
    // 非法索引检查
    if (i < 0 || j < 0 ||
        i >= matrix.size() ||
        j >= matrix[0].size()) {
        // 返回一个特殊值
        return 99999;
    }
    // base case
    if (i == 0) {
        return matrix[i][j];
    }
    // 状态转移
    return matrix[i][j] + min({
            dp(matrix, i - 1, j), 
            dp(matrix, i - 1, j - 1),
            dp(matrix, i - 1, j + 1)
        });
}

int min(int a, int b, int c) {
    return min(a, min(b, c));
}

上面代码能够暴力递归解决，但是有很多***重叠子问题***，降低了时间效率。

可以采用备忘录，记录下来已经确定的状态，不用每次去递归算。来消除重叠子问题：

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        int res = INT_MAX;
        // 备忘录里的值初始化为 66666
        vector<vector<int>> memo(n, vector<int>(n, 66666));
        // 终点可能在 matrix[n-1] 的任意一列
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            res = min(res, dp(matrix, memo, n - 1, j));
        }
        return res;
    }

    int dp(vector<vector<int>>& matrix, vector<vector<int>>& memo, int i, int j) {
        // 1、索引合法性检查
        if (i < 0 || j < 0 ||
            i >= matrix.size() ||
            j >= matrix[0].size()) {
            
            return 99999;
        }
        // 2、base case
        if (i == 0) {
            return matrix[0][j];
        }
        // 3、查找备忘录，防止重复计算
        if (memo[i][j] != 66666) {
            return memo[i][j];
        }
        // 进行状态转移
        memo[i][j] = matrix[i][j] + min(
                dp(matrix, memo, i - 1, j), 
                dp(matrix, memo, i - 1, j - 1),
                dp(matrix, memo, i - 1, j + 1)
            );
        return memo[i][j];
    }

    int min(int a, int b, int c) {
        return min(a, min(b, c));
    }
};

• memo的初始值为什么是66666:

备忘录 memo 数组的作用是什么？

就是防止重复计算，将 dp(matrix, i, j) 的计算结果存进 memo[i][j]，遇到重复计算可以直接返回。

那么，我们必须要知道 memo[i][j] 到底存储计算结果没有，对吧？如果存结果了，就直接返回；没存，就去递归计算。

所以，memo 的初始值一定得是特殊值，和合法的答案有所区分。

我们回过头看看题目给出的数据范围：

matrix 是 n x n 的二维数组，其中 1 <= n <= 100；对于二维数组中的元素，有 -100 <= matrix[i][j] <= 100。

假设 matrix 的大小是 100 x 100，所有元素都是 100，那么从第一行往下落，得到的路径和就是 100 x 100 = 10000，也就是最大的合法答案。

类似的，依然假设 matrix 的大小是 100 x 100，所有元素是 -100，那么从第一行往下落，就得到了最小的合法答案 -100 x 100 = -10000。

也就是说，这个问题的合法结果会落在区间 [-10000, 10000] 中。

所以，我们 memo 的初始值就要避开区间 [-10000, 10000]，换句话说，memo 的初始值只要在区间 (-inf, -10001] U [10001, +inf) 中就可以。

• 索引合法性检测：99999:
  • 对于不合法的索引，返回值如何确定，要看状态转移方程的逻辑
  • 状态转移方程如下：

int dp(vector <vector<int>> & matrix, int i, int j) {
	return matrix[i][j] + min(
		dp(matrix, memo, i-1,j),
		dp(matrix, memo, i-1,j-1)
		dp(matrix, memo, i-1,j+1)
	);
}

通过状态方程可知，如果索引不合法，是取该状态+前三个状态的最小值。在i-1和j+1中，均有可能出现不合法的情况。

只需让其返回一个特殊的大值，让min取不到它即可。

通过上面分析，该题的最终状态结构范围在[-10000, 10000] 中。所以只需返回>10000的值即可。更准确来说的只要返回区间 [10001, +inf) 中的一个值，就能保证不会被取到

三、最终完整代码：

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {

        int n = matrix.size();
        //防止重复计算，创建一个备忘录数组
        vector < vector<int> > memo(n, vector<int>(n,55555));//初始化备忘录数组

        //主体逻辑代码:(遍历最后一行,终点可能在最后一行的任何一列)

        int ans = INT_MAX;
        for (int i = 0; i < matrix.size(); i++){
           ans = min(ans,dp(matrix,memo,n-1,i));
        }
        return ans;
    }

    int dp(vector<vector<int>> &matrix, vector< vector<int> > &memo, int i,int j){
        //1）首先要检测下标是否合法
        if(i<0||j<0||i>=matrix.size()||j>=matrix.size()){
            return 55555;
        }
        //2)初始化dp数组
        if(i==0){
            return matrix[i][j];
        }

        //备忘录查找防止重复
        if(memo[i][j]!=55555){
            return memo[i][j];
        }

        //3)状态转移方程
        //不要忘记装进备忘录里哦
        memo[i][j] = matrix[i][j] + min_(
            dp(matrix,memo,i-1,j),
            dp(matrix,memo,i-1,j-1),
            dp(matrix,memo,i-1,j+1)
        );
        return memo[i][j];
    }
    int min_(int a, int b, int c){
        return min (c,min(a,b));
    }
};

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