作者：非妃是公主
专栏：《机器学习》
个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩
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线性支持向量机
支持向量机(Support Vector Machine, SVM)不仅具有坚实的统计学理论基础，还可以很好地应用于高维数据、避免维度灾难问题，已经成为一种倍受关注的机器学习分类技术。
直观上看应该去找位于两类训练样本”正中间”的划分超平面，即B1，因为该划分超平面对训练样本局部扰动的”容忍押性最好，由于训练集的局限性或噪声的因素，训练集外的样本可能比图中的训练样本更接近两个类的分隔界，这将使许多划分超平面出现错误，而红色的超平面受影响最小.换言之，这个划分超平面所产生的分类结果是最鲁棒的，对未见示例的泛化能力最强.
假设决策边界能将训练样本正确分类，即对于任意样本点
(
x
i
,
y
i
)
(x_i,y_i)
(xi,yi) ：若有
y
i
=
+
1
y_i=+1
yi=+1 ，则有
ω
T
x
i
+
b
>
0
\omega^\mathrm{T}x_i+b>0
ωTxi+b>0 ；若
y
i
=
−
1
y_i=-1
yi=−1，则有
ω
T
x
i
+
b
<
0
\omega^\mathrm{T}x_i+b<0
ωTxi+b<0。那么通过调整决策边界的参数
ω
\omega
ω和
b
b
b
总可以得到：
{
ω
T
x
i
+
b
>
0
y
i
=
+
1
ω
T
x
i
+
b
<
0
y
i
=
−
1
\begin{cases} \omega^\mathrm{T}x_i+b>0& y_i=+1\\ \omega^\mathrm{T}x_i+b<0& y_i=-1 \end{cases}
{ωTxi+b>0ωTxi+b<0yi=+1yi=−1
推导如下：主要就是以下两张图所含内容（参考链接：【数之道】支持向量机SVM是什么，八分钟直觉理解其本质）
求解最大间隔对应的
w
和
b
w和b
w和b：
转化为优化问题：
由于目标函数是二次的，并且约束条件在参数
ω
\omega
ω和
b
b
b上是线性的，因此线性支持向量机的学习问题是一个凸二次优化问题，可以直接用现成的优化计算包求解，或者用更高效的拉格朗日乘子法求解。
线性SVM假定训练样本是线性可分的，即存在一个线性的决策边界能将所有的训练样本正确分类。
非线性支持向量机
然而在实际应用中，在原始的样本空间内也许并不存在这样的决策边界。
对于这样的问题，可将样本从原始空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在映射后的特征空间内线性可分。
例如在下图中，如果将原始的二维空间映射到一个合适的三维空间，就能找到一个合适的划分超平面。幸运的是，如果原始空间是有限维， 即属性数目有限，那么一定存在一个更高维的特征空间使得样本线性可分。
以上就是支持向量机的基本原理，对偶优化问题数学理论性较强，比较复杂，尚未理解清楚，此处省略，后续补充。
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