作者：非妃是公主
专栏：《计算机图形学》
博客地址：https://blog.csdn.net/myf_666
个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩

文章目录

• 专栏推荐
• 专栏系列文章
• 序
• 一、二维图形的几何变换
• 二、工具函数/类代码实现
• 三、平移变换
• • 平移变换OpenGL代码实现
• 四、伸缩变换
• • 伸缩变换OpenGL代码实现
• 五、旋转变化
• • 旋转变化OpenGL代码实现
• 六、对称变换
• • 对称变换OpenGL代码实现
• 七、错切变换
• • 错切变换OpenGL代码实现
• 八、相对任意参考点的复合变换
• 九、相对任意方向的复合变换
• 十、坐标系之间的变换
• the end……

专栏推荐

专栏系列文章

序

计算机图形学（英语：computer graphics，缩写为CG）是研究计算机在硬件和软件的帮助下创建计算机图形的科学学科，是计算机科学的一个分支领域，主要关注数字合成与操作视觉的图形内容。虽然这个词通常被认为是指三维图形，事实上同时包括了二维图形以及影像处理。

一、二维图形的几何变换

二维变换主要以下面这一公式的形式展开，其中为了平移方便，所以采用齐次坐标的形式(即用三维坐标来表示二维点的变换，进而可以利用矩阵，简洁二维图形几何变换的形式)。

[

x

′

y

′

1

]

=

T

2

D

⋅

[

x

y

1

]

=

[

a

b

p

c

d

q

l

m

s

]

⋅

[

x

y

1

]

\begin{bmatrix} x’&y’&1\\ \end{bmatrix}=T_{2D}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b&p\\ c&d&q\\ l&m&s\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{bmatrix}

[x′​y′​1​]=T2D​⋅
​xy1​
​=
​acl​bdm​pqs​
​⋅
​xy1​
​

二、工具函数/类代码实现

矩阵结构体及相关工具函数/类的代码实现如下：

// 一些基础的结构体定义及函数操作
struct VERTEX { int x, y; };	// 点结构

/// <summary>
/// 矩阵结构体
/// </summary>
struct Matrix {
	vector<vector<double>> matrix;
	Matrix() { // 初始化为 3 * 3 的矩阵
		matrix = vector<vector<double>>(3, vector<double>(3, 0.0));
		// 对角线元素置为1
		//matrix[0][0] = 1;
		//matrix[1][1] = 1;
		//matrix[2][2] = 1;
	}
	Matrix(int m, int n) { // 初始化为 m * n 的矩阵
		matrix = vector<vector<double>>(m, vector<double>(n, 0.0));
	}
	friend ostream& operator<<(ostream& out, Matrix& m) {
		for (int i = 0; i < m.matrix.size(); i++) {
			for (int j = 0; j < m.matrix[0].size(); j++) {
				out << m.matrix[i][j] << " ";
			}
			out << endl;
		}
		return out;
	}
};

/// <summary>
/// 矩阵相乘
/// </summary>
/// <param name="m1">矩阵相乘的第一个矩阵</param>
/// <param name="m2">矩阵相乘的第二个矩阵</param>
/// <returns></returns>
Matrix dotMatrix(Matrix m1, Matrix m2) {
	Matrix res;
	for (int i = 0; i < m1.matrix.size();i++) {
		for (int j = 0; j < m2.matrix[0].size(); j++) {
			for (int k = 0; k < m1.matrix[0].size(); k++) {
				res.matrix[i][j] += m1.matrix[i][k] * m2.matrix[k][j];
			}			
		}
	}
	return res;
}

三、平移变换

值得注意的是，无论是点、线、区，还是各种复杂图形的变换，最终都要转换到点的变换上来，比如：线的变换，我们采用中点BH算法去画线，那么我们其实不需要去变换线上的每一个点，只需要控制好起始点和中点就可以完成线的绘制。

[

x

′

y

′

1

]

=

[

1

0

T

x

0

1

T

y

0

0

1

]

⋅

[

x

y

1

]

=

⋅

[

x

+

T

x

y

+

T

y

1

]

\begin{bmatrix} x’&y’&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&T_x\\ 0&1&T_y\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{bmatrix}=\cdot\begin{bmatrix} x+T_x\\ y+T_y\\ 1\\ \end{bmatrix}

[x′​y′​1​]=
​100​010​Tx​Ty​1​
​⋅
​xy1​
​=⋅
​x+Tx​y+Ty​1​
​

平移变换OpenGL代码实现

平移变换的代码实现如下：

/// <summary>
/// 平移变换
/// </summary>
/// <param name="vertex">待平移的点</param>
/// <param name="x">横坐标平移距离</param>
/// <param name="y">纵坐标平移距离</param>
/// <returns>平移后的点</returns>
VERTEX transTransform(VERTEX vertex, int x, int y) {
	Matrix qiciVertex(3, 1); // 转化为其次坐标
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = 1;
	Matrix transform;
	// 对角线元素
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	// 平移元素
	transform.matrix[0][2] = x;
	transform.matrix[1][2] = y;
	// 其次坐标结果
	Matrix qiciRes = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	VERTEX res; // 顶点坐标结果
	res.x = qiciRes.matrix[0][0];
	res.y = qiciRes.matrix[1][0];
	return res;
}

四、伸缩变换

[

x

′

y

′

1

]

=

[

s

x

0

0

0

s

y

0

0

0

1

]

⋅

[

x

y

1

]

=

⋅

[

s

x

⋅

x

s

y

⋅

y

1

]

\begin{bmatrix} x’&y’&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s_x&0&0\\ 0&s_y&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{bmatrix}=\cdot\begin{bmatrix} s_x\cdot x\\ s_y\cdot y\\ 1\\ \end{bmatrix}

[x′​y′​1​]=
​sx​00​0sy​0​001​
​⋅
​xy1​
​=⋅
​sx​⋅xsy​⋅y1​
​

伸缩变换OpenGL代码实现

伸缩变换OpenGL代码实现如下：

/// <summary>
/// 将点转化为其次坐标
/// </summary>
/// <param name="vertex">点</param>
/// <returns>齐次坐标</returns>
Matrix vertex2qici(VERTEX vertex) {
	Matrix qiciVertex(3, 1);
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = 1;
	return qiciVertex;
}

/// <summary>
/// 伸缩变换
/// </summary>
/// <param name="vertex">待变换的点</param>
/// <param name="sx">x方向变换比例</param>
/// <param name="sy">y方向变换比例</param>
/// <returns>经过比例变换后的点</returns>
VERTEX scaleTransform(VERTEX vertex, double sx, double sy) {
	// 将二维点转化为齐次坐标
	Matrix qiciVertex = vertex2qici(vertex);
	Matrix transform;
	transform.matrix[0][0] = sx;
	transform.matrix[1][1] = sy;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	Matrix qiciRes = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为点
	VERTEX res;
	res.x = qiciRes.matrix[0][0];
	res.y = qiciRes.matrix[0][1];
	return res;
}

五、旋转变化

[

x

′

y

′

1

]

=

[

c

o

s

θ

−

s

i

n

θ

0

s

i

n

θ

c

o

s

θ

0

0

0

1

]

⋅

[

x

y

1

]

=

⋅

[

x

⋅

c

o

s

θ

−

y

⋅

s

i

n

θ

x

⋅

s

i

n

θ

+

y

⋅

c

o

s

θ

1

]

\begin{bmatrix} x’&y’&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta&0\\ sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{bmatrix}=\cdot\begin{bmatrix} x\cdot cos\theta-y\cdot sin\theta\\ x\cdot sin\theta +y\cdot cos\theta\\ 1\\ \end{bmatrix}

[x′​y′​1​]=
​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​
​⋅
​xy1​
​=⋅
​x⋅cosθ−y⋅sinθx⋅sinθ+y⋅cosθ1​
​

旋转变化OpenGL代码实现

旋转变化的OpenGL代码实现如下：

/// <summary>
/// 旋转变换
/// </summary>
/// <param name="vertex">旋转变换的点</param>
/// <param name="theta">旋转的角度</param>
/// <returns>旋转后的点</returns>
VERTEX rotationTransform(VERTEX vertex, double theta) {
	// 将二维点转化为齐次坐标
	Matrix qiciVertex = vertex2qici(vertex);
	Matrix transform;
	transform.matrix[0][0] = cos(theta);
	transform.matrix[0][1] = -sin(theta);
	transform.matrix[1][0] = sin(theta);
	transform.matrix[1][1] = cos(theta);
	transform.matrix[2][2] = 1;
	Matrix qiciRes = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为点
	VERTEX res;
	res.x = qiciRes.matrix[0][0];
	res.y = qiciRes.matrix[0][1];
	return res;
}

六、对称变换

[

x

′

y

′

1

]

=

[

a

b

0

c

d

0

0

0

1

]

⋅

[

x

y

1

]

=

⋅

[

a

⋅

x

+

b

⋅

y

c

⋅

x

+

d

⋅

y

1

]

\begin{bmatrix} x’&y’&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b&0\\ c&d&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{bmatrix}=\cdot\begin{bmatrix} a\cdot x+b\cdot y\\ c\cdot x +d\cdot y\\ 1\\ \end{bmatrix}

[x′​y′​1​]=
​ac0​bd0​001​
​⋅
​xy1​
​=⋅
​a⋅x+b⋅yc⋅x+d⋅y1​
​
其中根据不同的变换类型，a、b、c、d被赋予不同的值，形成不同的变换矩阵，具体如下：

• 与x轴对称

T

2

D

=

[

1

0

0

0

−

1

0

0

0

1

]

T_{2D}=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}

T2D​=
​100​0−10​001​
​

• 与y轴对称

T

2

D

=

[

−

1

0

0

0

1

0

0

0

1

]

T_{2D}=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}

T2D​=
​−100​010​001​
​

• 与原点对称

T

2

D

=

[

−

1

0

0

0

−

1

0

0

0

1

]

T_{2D}=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}

T2D​=
​−100​0−10​001​
​

• 与$y=x$

T

2

D

=

[

0

1

0

1

0

0

0

0

1

]

T_{2D}=\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}

T2D​=
​010​100​001​
​

• 与$y=-x$

T

2

D

=

[

0

−

1

0

−

1

0

0

0

0

1

]

T_{2D}=\begin{bmatrix} 0&-1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}

T2D​=
​0−10​−100​001​
​

对称变换OpenGL代码实现

对称变换OpenGL代码实现如下：

/// <summary>
/// 关于x轴对称
/// </summary>
/// <param name="vertex">待变换的点</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX symmetricTransformForx(VERTEX vertex) {
	// 将二维点转化为齐次坐标
	Matrix qiciVertex = vertex2qici(vertex);
	// 生成变换矩阵
	Matrix transform;
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = -1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	// 进行变换
	Matrix qiciRes = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为点
	VERTEX res;
	res.x = qiciRes.matrix[0][0];
	res.y = qiciRes.matrix[0][1];
	return res;
}

/// <summary>
/// 关于y轴对称
/// </summary>
/// <param name="vertex">待变换的点</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX symmetricTransformFory(VERTEX vertex) {
	// 将二维点转化为齐次坐标
	Matrix qiciVertex = vertex2qici(vertex);
	// 生成变换矩阵
	Matrix transform;
	transform.matrix[0][0] = -1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	// 进行变换
	Matrix qiciRes = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为点
	VERTEX res;
	res.x = qiciRes.matrix[0][0];
	res.y = qiciRes.matrix[0][1];
	return res;
}

/// <summary>
/// 关于原点对称
/// </summary>
/// <param name="vertex">待变换的点</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX symmetricTransformForO(VERTEX vertex) {
	// 将二维点转化为齐次坐标
	Matrix qiciVertex = vertex2qici(vertex);
	// 生成变换矩阵
	Matrix transform;
	transform.matrix[0][0] = -1;
	transform.matrix[1][1] = -1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	// 进行变换
	Matrix qiciRes = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为点
	VERTEX res;
	res.x = qiciRes.matrix[0][0];
	res.y = qiciRes.matrix[0][1];
	return res;
}

/// <summary>
/// 关于y=x直线对称
/// </summary>
/// <param name="vertex">待变换的点</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX symmetricTransformForYEqualX(VERTEX vertex) {
	// 将二维点转化为齐次坐标
	Matrix qiciVertex = vertex2qici(vertex);
	// 生成变换矩阵
	Matrix transform;
	transform.matrix[0][1] = 1;
	transform.matrix[1][0] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	// 进行变换
	Matrix qiciRes = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为点
	VERTEX res;
	res.x = qiciRes.matrix[0][0];
	res.y = qiciRes.matrix[0][1];
	return res;
}

/// <summary>
/// 关于y=-x直线对称
/// </summary>
/// <param name="vertex">待变换的点</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX symmetricTransformForYNegativeEqualX(VERTEX vertex) {
	// 将二维点转化为齐次坐标
	Matrix qiciVertex = vertex2qici(vertex);
	// 生成变换矩阵
	Matrix transform;
	transform.matrix[0][1] = -1;
	transform.matrix[1][0] = -1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	// 进行变换
	Matrix qiciRes = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为点
	VERTEX res;
	res.x = qiciRes.matrix[0][0];
	res.y = qiciRes.matrix[0][1];
	return res;
}

七、错切变换

[

x

′

y

′

1

]

=

[

1

b

0

c

1

0

0

0

1

]

⋅

[

x

y

1

]

=

⋅

[

x

+

b

⋅

y

c

⋅

x

+

y

1

]

\begin{bmatrix} x’&y’&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&b&0\\ c&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{bmatrix}=\cdot\begin{bmatrix} x+b\cdot y\\ c\cdot x +y\\ 1\\ \end{bmatrix}

[x′​y′​1​]=
​1c0​b10​001​
​⋅
​xy1​
​=⋅
​x+b⋅yc⋅x+y1​
​

错切变换OpenGL代码实现

错切变换OpenGL代码实现如下：

/// <summary>
/// 错切变换
/// </summary>
/// <param name="vertex">待变换的点</param>
/// <param name="misXCut">X方向上错切的比例</param>
/// <param name="misYCut">Y方向上错切的比例</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX miscutTransform(VERTEX vertex, double misXCut, double misYCut) {
	// 将二维点转化为齐次坐标
	Matrix qiciVertex = vertex2qici(vertex);
	// 生成变换矩阵
	Matrix transform;
	transform.matrix[0][1] = misXCut;
	transform.matrix[1][0] = misYCut;
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	// 进行变换
	Matrix qiciRes = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为点
	VERTEX res;
	res.x = qiciRes.matrix[0][0];
	res.y = qiciRes.matrix[0][1];
	return res;
}

八、相对任意参考点的复合变换

相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：(分解成基本的几何变换）

1. 平移(-xF,-yF) 。
2. 针对原点进行二维几何变换。
3. 反平移(+xF,+yF) 。

进行一个平移和反平移，转换成相对于原点的变换，来实现。

九、相对任意方向的复合变换

相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是：

1. 旋转变换；
2. 针对坐标轴进行二维几何变换；
3. 反向旋转

旋转、反旋转，转化为相对于原点的变换。

十、坐标系之间的变换

[

x

′

y

′

1

]

=

T

R

⋅

T

T

⋅

[

x

y

1

]

=

⋅

[

x

+

b

⋅

y

c

⋅

x

+

y

1

]

\begin{bmatrix} x’&y’&1\\ \end{bmatrix}=T_{R}\cdot T_{T}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{bmatrix}=\cdot\begin{bmatrix} x+b\cdot y\\ c\cdot x +y\\ 1\\ \end{bmatrix}

[x′​y′​1​]=TR​⋅TT​⋅
​xy1​
​=⋅
​x+b⋅yc⋅x+y1​
​

即先进行平移变换，再进行旋转变换即可。

the end……

二维图形的几何变换到这里就要结束啦~~到此既是缘分，欢迎您的点赞、评论、收藏！关注我，不迷路，我们下期再见！！

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