作者：非妃是公主
专栏：《计算机图形学》
博客地址：https://blog.csdn.net/myf_666
个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩

文章目录

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专栏系列文章

序

一、三维图形的几何变换

二、数据结构及工具函数定义

三、平移变换

1. 平移变换矩阵

2. 代码实现

3. 效果展示

四、比例变换

1. 比例变换矩阵

2. 代码实现

3. 效果展示

五、旋转变换

1. 旋转变换矩阵

2. 代码实现

3. 效果展示

六、对称变换

1. 关于坐标平面对称变换矩阵

2. 关于坐标轴对称变换矩阵

3. 代码实现

4. 效果展示

七、错切变换

1. 变换矩阵

2. 代码实现

3. 效果展示

八、相对任意参考点的复合变换

九、相对任意方向的复合变换

the end……

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专栏名称	专栏地址
软件工程	专栏——软件工程
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二维观察之点的裁剪	计算机图形学09——二维观察之点裁剪
二维观察之线的裁剪	计算机图形学10——二维观察之线裁剪
二维观察之多边形的裁剪	计算机图形学11——二维观察之多边形裁剪
二维图形的几何变换	计算机图形学12——二维图形几何变换
三维图形的几何变换	计算机图形学13——三维图形几何变换
三维图形的投影变换	计算机图形学14——三维图形投影变换

序

计算机图形学（英语：computer graphics，缩写为CG）是研究计算机在硬件和软件的帮助下创建计算机图形的科学学科，是计算机科学的一个分支领域，主要关注数字合成与操作视觉的图形内容。虽然这个词通常被认为是指三维图形，事实上同时包括了二维图形以及影像处理。

一、三维图形的几何变换

对三维图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后生成新的三维图形，复杂图形的几何变换可通过变换矩阵对图形的基本元素点、线、面作用，其中对点的矩阵是基础。
其中的变换形式如下：

[

′

]

⋅

[

]

[

]

⋅

[

]

\begin{bmatrix} x’\\y’\\z’\\1\\ \end{bmatrix}=T_{2D}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b&c&p\\ d&e&f&q\\ h&i&j&r\\ l&m&n&s\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{bmatrix}

$x^{'} y^{'} z^{'} 1 = T_{2 D} \cdot x y z 1 = a d h l b e i m c f j n p q r s \cdot x y z 1$

二、数据结构及工具函数定义

struct VERTEX3D { double x, y, z; };	// 三维空间点结构
#define PI acos(-1)
/// <summary>
/// 矩阵结构体
/// </summary>
struct Matrix {
	vector<vector<double>> matrix;
	Matrix() { // 初始化为 4 * 4 的矩阵
		matrix = vector<vector<double>>(4, vector<double>(4, 0.0));
	}
	Matrix(int m, int n) { // 初始化为 m * n 的矩阵
		matrix = vector<vector<double>>(m, vector<double>(n, 0.0));
	}
	friend ostream& operator<<(ostream& out, Matrix& m) {
		for (int i = 0; i < m.matrix.size(); i++) {
			for (int j = 0; j < m.matrix[0].size(); j++) {
				out << m.matrix[i][j] << " ";
			}
			out << endl;
		}
		return out;
	}
};

/// <summary>
/// 矩阵相乘
/// </summary>
/// <param name="m1">矩阵相乘的第一个矩阵</param>
/// <param name="m2">矩阵相乘的第二个矩阵</param>
/// <returns></returns>
Matrix dotMatrix(Matrix m1, Matrix m2) {
	Matrix res;
	for (int i = 0; i < m1.matrix.size(); i++) {
		for (int j = 0; j < m2.matrix[0].size(); j++) {
			for (int k = 0; k < m1.matrix[0].size(); k++) {
				res.matrix[i][j] += m1.matrix[i][k] * m2.matrix[k][j];
			}
		}
	}
	return res;
}

/// <summary>
/// 将点转化为其次坐标
/// </summary>
/// <param name="vertex">点</param>
/// <returns>齐次坐标</returns>
Matrix vertex3D2qici(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex(4, 1);
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;
	qiciVertex.matrix[3][0] = 1;
	return qiciVertex;
}

三、平移变换

1. 平移变换矩阵

[

]

T_{t}=\begin{bmatrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{t} = 100001000010 t_{x} t_{y} t_{z} 1$

2. 代码实现

/// <summary>
/// 三维坐标平移变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待平移地三维点</param>
/// <param name="x">x方向平移距离</param>
/// <param name="y">y方向平移距离</param>
/// <param name="z">z方向平移距离</param>
/// <returns>平移后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D transTransform3D(VERTEX3D vertex3D, int x, int y, int z) {
	Matrix qiciVertex= vertex3D2qici(vertex3D);  // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;
	
	// 设置各方向平移距离
	transform.matrix[0][3] = x;
	transform.matrix[1][3] = y;
	transform.matrix[2][3] = z;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

3. 效果展示

测试代码如下：

void testTransTransform() {
	VERTEX3D vertex3D = { 0,1,0 };
	VERTEX3D res = transTransform3D(vertex3D, 1, -1, 1);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

点(0，1，0)在x，y，z三个方向上分别平移(1，-1，1)个单位后，坐标为(1，0，1)，如下图所示：

四、比例变换

1. 比例变换矩阵

[

]

T_{t}=\begin{bmatrix} a&0&0&0\\ 0&e&0&0\\ 0&0&j&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{t} = a 000 0 e 00 00 j 0 0001$

2. 代码实现

/// <summary>
/// 三维坐标比例变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <param name="x">x方向变换比例</param>
/// <param name="y">y方向变换比例</param>
/// <param name="z">z方向变换比例</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D scaleTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double scaleX, int scaleY, int scaleZ) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = scaleX;
	transform.matrix[1][1] = scaleY;
	transform.matrix[2][2] = scaleZ;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

3. 效果展示

测试代码如下：

void testScaleTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 1,1,2 };
	VERTEX3D res = scaleTransform3D(vertex3D, 5, -2, 3);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

五、旋转变换

1. 旋转变换矩阵

旋转变换分为x、y、z三个方向上的旋转，遵循右手定则，拇指指向坐标轴的方向，手指的方向为正方向。
绕X轴旋转变换矩阵：

[

−

]

T_{RX}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&cos\theta&-sin\theta&0\\ 0&sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{RX} = 1000 0 cos θ s in θ 0 0 - s in θ cos θ 0 0001$

绕Y轴旋转变换矩阵：

[

−

]

T_{RY}=\begin{bmatrix} cos\theta&0&sin\theta&0\\ 0&1&0&0\\ -sin\theta&0&cos\theta&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{R Y} = cos θ 0 - s in θ 0 0100 s in θ 0 cos θ 0 0001$

绕Z轴旋转变换矩阵：

[

−

]

T_{RZ}=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta&0&0\\ sin\theta&cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{RZ} = cos θ s in θ 00 - s in θ cos θ 00 00100001$

2. 代码实现

VERTEX3D rotationForXTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double theta) {
	Matrix qiciVertex(4, 1); // 转化为其次坐标
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;
	qiciVertex.matrix[3][0] = 1;

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[2][2] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[3][3] = 1;

	transform.matrix[1][2] = -sin(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[2][1] = sin(2 * PI * theta / 360);

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

VERTEX3D rotationForYTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double theta) {
	Matrix qiciVertex(4, 1); // 转化为其次坐标
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;
	qiciVertex.matrix[3][0] = 1;

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[3][3] = 1;

	transform.matrix[0][2] = sin(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[2][0] = -sin(2 * PI * theta / 360);

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

VERTEX3D rotationForZTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double theta) {
	Matrix qiciVertex(4, 1); // 转化为其次坐标
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;
	qiciVertex.matrix[3][0] = 1;

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[1][1] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	transform.matrix[0][1] = -sin(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[1][0] = sin(2 * PI * theta / 360);

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

3. 效果展示

测试代码如下：

void testRotationForXTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 1,1,1 };
	VERTEX3D res = rotationForXTransform3D(vertex3D, 135);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testRotationForYTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 1,1,1 };
	VERTEX3D res = rotationForYTransform3D(vertex3D, 135);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testRotationForZTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 1,1,1 };
	VERTEX3D res = rotationForZTransform3D(vertex3D, 135);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

三个测试代码分别表示沿x，y，z轴旋转135度。

六、对称变换

对称变换包括关于xoy、yoz、zox三个平面对称，还包括，关于x轴、y轴、z轴对称，变换矩阵分别如下：

1. 关于坐标平面对称变换矩阵

关于xoy平面对称，因此x、y坐标不变，z坐标变为相反数(-z)：

[

−

]

T_{Fxy}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{F x y} = 10000100 00 - 1 0 0001$
同理可得，关于yoz平面对称：

[

−

]

T_{Fyz}=\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{F yz} = - 1 000 010000100001$
关于zox平面对称：

[

−

]

T_{Fzx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{F z x} = 1000 0 - 1 00 00100001$

2. 关于坐标轴对称变换矩阵

关于x轴对称，因此x坐标不变，y、z坐标变为相反数(-y、-z)：

[

−

]

T_{Fx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{F x} = 1000 0 - 1 00 00 - 1 0 0001$
同理可得，关于y轴对称：

[

−

]

T_{Fy}=\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{F y} = - 1 000 0100 00 - 1 0 0001$
关于z轴对称：

[

−

]

T_{Fz}=\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{F z} = - 1 000 0 - 1 00 00100001$

3. 代码实现

/// <summary>
/// x轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForXTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = -1;
	transform.matrix[2][2] = -1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// y轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForYTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = -1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = -1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// z轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForZTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = -1;
	transform.matrix[1][1] = -1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// XOY轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForXOYTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = -1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// YOZ轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForYOZTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = -1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// ZOX轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForZOXTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = -1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

4. 效果展示

坐标点(4，3，2)关于坐标平面、坐标轴对称的结果如下：

测试代码如下：

void testSymmetryForXTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForXTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForYTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForYTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForZTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForZTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForXOYTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForXOYTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForYOZTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForYOZTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForZOXTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForZOXTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

七、错切变换

错切变换同样分为3种，分别为x、y、z三个方向进行变换。具体变换矩阵如下：

1. 变换矩阵

关于x方向错切，y、z坐标不会发生变换，x坐标发生变化的幅度会收到y、z坐标大小的影响，y、z越大，发生变换的程度也越大。

[

]

T_{SHx}=\begin{bmatrix} 1&b&c&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{S H x} = 1000 b 100 c 010 0001$

[

]

T_{SHy}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ d&1&f&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{S Hy} = 1 d 00 0100 0 f 10 0001$

[

]

T_{SHz}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ g&h&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\

$T_{S Hz} = 10 g 0 01 h 0 00100001$

2. 代码实现

/// <summary>
/// X方向错切变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的点</param>
/// <param name="miscutY">Y方向错切量</param>
/// <param name="miscutZ">Z方向错切量</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX3D miscutForXTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double miscutY, double miscutZ) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 平移变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 错切量
	transform.matrix[0][1] = miscutY;
	transform.matrix[0][2] = miscutZ;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// Y方向错切变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的点</param>
/// <param name="miscutX">X方向错切量</param>
/// <param name="miscutZ">Z方向错切量</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX3D miscutForYTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double miscutX, double miscutZ) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 平移变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 错切量
	transform.matrix[1][0] = miscutX;
	transform.matrix[1][2] = miscutZ;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// Z方向错切变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的点</param>
/// <param name="miscutX">X方向错切量</param>
/// <param name="miscutY">Y方向错切量</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX3D miscutForZTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double miscutX, double miscutY) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 平移变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 错切量
	transform.matrix[2][0] = miscutX;
	transform.matrix[2][1] = miscutY;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

void testMiscutTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = miscutForZTransform3D(vertex3D, 2, 2);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

3. 效果展示

测试代码如下：

void testMiscutTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = miscutForXTransform3D(vertex3D, 2, 2);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
	res = miscutForYTransform3D(vertex3D, 2, 2);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
	res = miscutForZTransform3D(vertex3D, 2, 2);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}