MIT 线性代数导论第十八讲：行列式及其性质

从这一讲开始新的章节。这一讲主要是一些基础概念性质，所以比较简单。

本讲的主要内容：

行列式的概念
行列式的重要性质

行列式的概念以及基本的三个性质

行列式是由方阵

$A$ 确定的一个标量，记作

det \enspace a

$d e t a$ 或者

∣

|A|

$∣ A ∣$ ，可以看作是面积或者体积向高维空间的拓展。这里要注意的概念是我们一般意义上的考虑都是考虑方阵的行列式
行列式的三个基本性质：

1 $\enspace I = 1 detI=1 也就是单位矩阵的行列式值等于1（其实是对角线的数值的乘积）$
2 交换矩阵的两行，行列式的值会改变符号，所以由这个性质可以得出，任意的一个置换矩阵，它的行列式值是0或者1
3.1关于提取行列式中某一行的公因数的操作： $\begin{vmatrix} ta & tb\\ c & d \end{vmatrix}= t\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix} ∣∣∣∣tactbd∣∣∣∣=t∣∣∣∣acbd∣∣∣∣$
3.2 关于拆分行列式： $\begin{vmatrix} a+ a{}' & b+b{}'\\ c & d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a{}' &b{}' \\ c & d \end{vmatrix} ∣∣∣∣a+a′cb+b′d∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣+∣∣∣∣a′cb′d∣∣∣∣$

上面的三个性质作为行列式的最重要的三个性质，后边的结论都可以有这三条推出。

重要推论

如果方阵的某两行一样，则行列式值为0，可以使用性质2推出
将某一行的乘以某个数加到另一行上，行列式的值不会变，比如： $\begin{vmatrix} a &b \\ c-la &d-lb \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a &b \\ -la & -lb \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} ∣∣∣∣ac−labd−lb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣+∣∣∣∣a−lab−lb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣$
如果方阵中有某一行全为0，则行列式的值为0
关于上三角矩阵的行列式： $U=\begin{vmatrix} d_{1} & * & * & *\\ 0 & d_{2} & * & *\\ … & … & … &… \\ 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{vmatrix}\Rightarrow det U = d_{1}d_{2}…d_{n} U=∣∣∣∣∣∣∣∣d10...0∗d2...0∗∗...0∗∗...dn∣∣∣∣∣∣∣∣⇒detU=d1d2...dn 这里可以继续进行消元直到化简为和行最简形，这一条也是我们计算行列式的重要方法，实际上，在很多计算软件中，都是先进性消元过程将矩阵转化为上三角矩阵，然后再进行计算。$
如果行列式的值为0，则矩阵是奇异矩阵，也就是矩阵没有逆。
$\enspace AB =(det\enspace A )(det \enspace B) detAB=(detA)(detB)$
$A^{-1} = \frac{1}{detA} detA−1=detA1 、 d e t A 2 = ( d e t A ) 2 detA^{2} = (detA)^{2} detA2=(detA)2$
$2^{n}detA det2A=2ndetA 这三条都可以通过矩阵乘积的行列式分解得出$
$A^{T} = det A detAT=detA 这一条结论可以先将方阵进行LU分解，那么得到的是矩阵等于下三角矩阵乘上三角矩阵的形式，在这种形式下，行列式的值会比较好计算，结论就会很明显。$