一.图的基本介绍

1.为什么要有图

一.图的基本介绍

1.为什么要有图

1)我们学了线性表和树

2)线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系

3)树也只能有一个直接前驱也就是父节点

4)当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图:

2.图的常用概念

1)顶点(vertex)

2)边(edge)

3)路径

4)无向图(右图)

无向图:顶点之间的连接没有方向，比如A-B,即可以是A->B也可以B->A .
路径:比如从D->c的路径有: 1)D->B->C 2)D->A->B->C

5)有向图

有向图:顶点之间的连接有方向，比如A-B,只能是A->B 不能是B->A.

6)带权图

带权图:这种边带权值的图也叫网.

3.图的表示方式

图的表示方式有两种:二维数组表示()邻接矩阵);链表表示（邻接表）。

1.邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1..….n个点。

2.邻接表

1)邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造
成空间的一定损失.
2)邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接
表由数组+链表组成

说明:
1)标号为o的结点的相关联的结点为1,2,3,4

2)标号为1的结点的相关联结点为0 4

3)标号为2的结点相关联的结点为0

二.图的创建和代码实现

1.代码实现以下结构

2.思路分析

(1)存储顶点string使用ArrayList (2)保存矩阵int[][] edges

3.代码实现

public class Graph {
    public ArrayList<String> vertexList;//存储顶点的集合
    public int[][] edges;    //存储图对应的邻接矩阵
    public int numOfEdges;    //表示边的数目
    //初始化
    public Graph(int n) {
        edges=new int[n][n];
        vertexList=new ArrayList<>(n);

    }
    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex){
        vertexList.add(vertex);

    }
    //添加边
    /**
     *
     * @param v1   第一个顶点的下标
     * @param v2   第二个顶点的下标
     * @param weight  表示权重
     */
    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
        edges[v1][v2]=weight;
        edges[v2][v1]=weight;

    }
    //返回顶点的个数
    public int getNumOfVertex(){
        return vertexList.size();
    }
    //返回结点i对应的数据
    public String getValueByIndex(int i){
        return vertexList.get(i);
    }
    //返回v1,v2的权值
    public int getWeight(int v1,int v2){
        return edges[v1][v2];
    }
    //返回边的个数
    public int getNumOfEdges(){
        return numOfEdges;
    }
    //返回图对应的矩阵
    public void showGraph(){
        for (int[] edge : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(edge));
        }
    }
}

测试:

   public static void main(String[] args) {
        String[] vertex = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        Graph graph = new Graph(5);
        //添加顶点
        for (String s : vertex) {
            graph.insertVertex(s);
        }
        //A-B A-C  B-C B-D B-E
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.showGraph();

    }

打印:

[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]

三.图的遍历

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点,如何遍历这些结点，
需要特定策略，一般有两种访问策略:⑴深度优先遍历(⑵)广度优先遍历

1.深度优先遍历(DFS)

图的深度优先搜索(Depth First Search) .
1) 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解:每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

2)我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入而不是对一个结点的
所有邻接结点进行横向访问。

3)显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤
1)访问初始结点v，并标记结点v为已访问

2)查找结点v的第一个邻接结点w。

3)若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续

4)若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。

5)查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

2.代码实现(DFS)

   public class Graph {
    //得到第一个邻接节点的下标w
    //如果存在就返回对应的下标,否则就返回-1
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (edges[index][i] > 0) {
                return i;
            }
        }
        return -1;

    }

    //根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for (int i = v2 + 1; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (edges[v1][i] > 0) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
    //返回结点i对应的数据
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //深度优先遍历算法
    public void dfs(boolean[] isVisted, int i) {
        //首先访问此结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->");
        //将该结点设置成已经访问过
        isVisted[i] = true;
        //查找i结点的第一个邻接节点
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {//存在
            if (!isVisted[w]) {
                dfs(isVisted, w);
            }
            //如果w结点已经被访问过了
            w = getNextNeighbor(i, w);

        }

    }

    //对dfs进行重载,遍历所有的结点,并进行dfs
    //避免不连通的情况出现
    public void dfs() {
        //遍历所有的结点
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisted[i]) {
                dfs(isVisted, i);
            }
        }

    }
}

打印结果:

A–>B–>C–>D–>E–>

3.广度优先遍历(BFS)

图的广度优先搜索(Broad First Search)
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，
以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤
1)访问初始结点v并标记结点v为已访问。

2)结点v入队列

3)当队列非空时，继续执行，否则算法结束。

4)出队列，取得队头结点u。

5)查找结点u的第一个邻接结点w。

6)若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3, 否则循环执行以下三个步骤:

6.1若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
6.2结点w入队列
6.3查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6

4.代码实现(BFS)

 //广度优先遍历
    //对dfs进行重载,遍历所有的结点,并进行dfs
    //避免不连通的情况出现
    public void bfs() {
        isVisted=new boolean[getNumOfVertex()];
        //遍历所有的结点
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisted[i]) {
                bfs(isVisted, i);
            }
        }

    }

    public void bfs(boolean[] isVisted, int i) {
        int u;    //表示队列头结点对应的下标
        int w;    //邻接节点w
        //队列,记录结点访问的顺序
        LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->");
        //标记为已访问
        isVisted[i] = true;
        queue.add(i);
        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = queue.remove();
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {//找到存在的
                //是否访问过
                if (!isVisted[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w)+"-->");
                    //标记访问过
                    isVisted[w] = true;
                    queue.add(w);
                }
                //以u为前驱节点找w后面的下一个邻接点
                w = getNextNeighbor(u, w);//体现出广度优先
            }
        }


    }

打印结果: